무한급수

무한급수

무한급수의 합은 위에 적혀있는, 급수의 부분합으로 이루어지는 수열의 극한값으로 생각한다. n이 무한대로 갈 때 그 극한이 유한한 값을 갖는다면 이 급수가 수렴한다고 한다. 만약 이 값이 무한하거나 존재하지 않는다면, 이 급수는 발산한다고 한다.

무한급수가 발산하는지 여부를 판단하는 가장 쉬운 방법은 급수를 구성하고 있는 수열의 n번째 항인 a_n이 n이 무한으로 갈 때 0으로 수렴하는지 여부를 체크하면 된다. 만약 0으로 가지 않는다면, 이 급수는 발산한다는 사실을 쉽게 확인할 수 있다. 하지만 그 극한값이 0으로 간다고 해도, 이 급수가 항상 수렴하는 것은 아니다. 다음의 급수의 경우 수열의 값은 0으로 수렴하지만, 급수는 수렴하지 않는다.

급수를 구성하고 있는 각 수열들이 0이 아닌 항으로만 이루어져 있더라도 수렴할 수도 있다. 제논의 역설로도 확인할 수 있는 수렴하는 무한급수의 예는 다음과 같다.

수직선에서 이를 눈으로 확인해볼 수 있다. 수직선에서 에 해당하는 부분에 점을 찍어보면, 언제나 마지막에 찍은 점과 그 앞에 찍은 점 사이의 거리가, 1과 마지막에 찍은 점과의 거리와 같다는 사실을 알 수 있다. 하지만 이런 논리로는 이 급수의 부분합이 항상 1보다 작다는 사실을 설명할 뿐, 무한급수의 합이 1이 된다는 사실을 증명해주지는 못한다.

위의 급수를 등비급수로 표현하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

일반적인 무한급수를 표시할 때에는 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기에서 a_n은 실수(혹은 복소수)이며, 만약 부분합의 극한인

이 어떤 값 S로 수렴한다면, 이 무한급수의 합은 S와 같다고 한다. 이런 수 S가 존재하지 않을 경우 이 급수는 발산한다고 한다.